همریختیها و مشتقها از b(e)

a را به عنوان جبر باناخ در نظر می گیریم. آنگاه دو نوع مسئله پیوستگی خودبه خود روی a موجود است . ابتدا اگر ?:a--->b همریختی از a بتوی هر جبر باناخ b باشد، چه موقع ؟ خودبه خود پیوسته است و در صورت دوم اگرd:a--->x عملگر مشتق از a بتوی هر باناخ دو مدل x باشد، چه موقع d خودبه خود پیوسته است . در این مقاله در حالتیکه a به صورت b(e) است به این دو مسئله می پردازیم. فرض کنیم x یک -a دو مدل باناخ و d:a--->x عملگر مشتق ازa به x باشد، قرار می دهیم ba?x در این صورت b با ضرب (a,b?a:x,y?x) (a,x) (b,y)(ab,a.y+xb) و نرم ?(a,x)??a?+?x? تشکیل تشکیل جبر باناخ می دهد. همریختی ?:a--->b را به صورت ?(a)(a,da) در نظر می گیریم آنگاه ؟ پیوسته است اگر و فقط اگر d پیوسته باشد.بنابراین هرگاه هر همریختی از a بتوی جبر باناخ معینی خودبه خود پیوسته باشد آنگاه هر مشتق از a بتوی -a دو مدل باناخ معینی به طور خودبه خود پیوسته است . در سال 1967 جانسون در مورد فضای باناخ e که در خاصیت ee?e صدق کند نشان داد که هر همریختی از a بتوی باناخ معینی خودبه خود پیوسته است . در سال 1987 لوی و ویلیس نشان دادند در صورتیکه باشد آنگاه j?j?j و هر مشتق از b(e) در یک -b(e) دو مدل باناخ خودبخود پیوسته است . در سال 1989، رد با ساختن یک فضای e باناخ نشان داد که مشتق ناپیوسته ای از b(e) موجود است در حقیقت با این مثال او نشان داد که همریختی ناپیوسته ای از b(e) به توی جبر باناخ معینی موجود است . حال این سوال مطرح می شود آیا یک فضای باناخ e را می توان در نظر گرفت که هر مشتق از b(e) پیوسته، اما در اینحال همریختی ناپیوسته ای از b(e) در جبر باناخ معینی موجود باشد؟ هدف این رساله پرداختن به این چنین مسئله ای است .